Question

（1）已知x≠1，计算（1-x）（1+x）=

 

，（1-x）（1+x+x²）=

 

，（1-x）（1+x+x²+x³）=

 

，观察上式，猜想（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

 

．
（2）已知a≠b，则（a²-b²）÷（a-b）=

 

，（a³-b³）（a-b）=

 

．
利用上题结果猜想（a⁴-b⁴）÷（a-b）的结果并检验猜想是否正确？

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：（1）利用多项式乘以多项式法则计算，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用多项式除以多项式法则计算得到结果，归纳总结出一般性结论，猜想（a⁴-b⁴）÷（a-b）的结果，验证即可．

解答：解：（1）已知x≠1，计算（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴，
观察上式，猜想（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）已知a≠b，则（a²-b²）÷（a-b）=a+b，（a³-b³）（a-b）=a²+ab+b²；
利用上题结果猜想（a⁴-b⁴）÷（a-b）=a³+ab²+a²b+b³，
证明：（a⁴-b⁴）÷（a-b）
=（a-b）（a+b）（a²+b²）÷（a-b）
=（a+b）（a²+b²）
=a³+ab²+a²b+b³．
故答案为：（1）1-x²；1-x³；1-x⁴；1-xⁿ⁺¹；（2）a+b；a²+ab+b²

点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．