Question

19．如图，在菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F在菱形ABCD内部，△AEF为等边三角形．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AE=6，BE=10，CE=8，求∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ACD为等边三角形，从而得到AC=AB，然后根据菱形的性质和等边三角形的性质证明∠FAC=∠EAB，最后证明△CFA≌△BEA，从而可证得：BE=CF；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证明△CEF为直角三角形，然后即可求得∠AEC的度数．

解答 证明：（1）连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=DA=AB=BC，∠DAC=∠CAB．
∵DC=DA，∠D=60°．
∴△DAC为等边三角形．
∴AC=AD，∠DAC=∠CAB=60°
∴AC=AB．
∵△EFA为等边三角形，
∴∠FAE=60°，FA=EA．
∴∠FAE-∠EAC=∠CAB-∠EAC，即∠FAC=∠EAB．
在△CFA和△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠FAC=∠EAB}\\{FA=EA}\end{array}\right.$，
∴△CFA≌△BEA．
∴BE=CF．
（2）∵BE=CF，
∴CF=10．
∵CF=10，EF=AE=6，CE=8．
∴CF²=EF²+CE²．
∴∠CEF=90°．
∵△EFA为等边三角形，
∴∠FEA=60°．
∴∠AEC=90°+60°=150°．

点评 本题主要考查的是勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，证得△CFA≌△BEA是解题的关键．