Question

【题目】如图抛物线经过点，tan∠CAB=3，且．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；对称轴为：x=1；（2）点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．

【解析】

（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，C点坐标代入可求出a的值，得到抛物线方程，再进行配方即可求出对称轴方程；
（2）根据S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE求出点E坐标，进而可求出直线PC的解析式，再与抛物线方程联立方程组，求解方程组即可求得点P坐标．

（1）∵

∴OA=1，

∵tan∠CAB= 3

∴OC=3

∵OB=OC，

∴点B（3，0），C（0，3）
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
函数的对称轴为：x=1；

(2)如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE=3：5或5：3，

∵AB=|-1-3|=4

∴AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
设直线PC的解析式为：y=kx+b,

将点E（，0）、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式得，

，解得；

此时直线CP的表达式为：y=-2x+3；

将点E（，0）、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式得，

，解得；

故直线CP的表达式为： y=-6x+3…②
联立①或

解①得：或 （不符合题意，舍去））

解②得：或 （不符合题意，舍去））

所以，点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．