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【题目】若一次函数ykx+m的图象经过二次函数yax2+bx+c的顶点,我们则称这两个函数为丘比特函数组

1)请判断一次函数y=﹣3x+5和二次函数yx24x+5是否为丘比特函数组,并说明理由.

2)若一次函数yx+2和二次函数yax2+bx+c丘比特函数组,已知二次函数yax2+bx+c顶点在二次函数y2x23x4图象上并且二次函数yax2+bx+c经过一次函数yx+2y轴的交点,求二次函数yax2+bx+c的解析式;

3)当﹣3≤x≤1时,二次函数yx22x4的最小值为a,若丘比特函数组中的一次函数y2x+3和二次函数yax2+bx+cbc为参数)相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

【答案】1)不是,见解析;(2)抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+2yx2+2x+2;(32,为定值,见解析

【解析】

1y=x2-4x+5=(x-2)2+1,即顶点坐标为(21),当x=2时,y=-3x+5=-1≠1,即可求解;

2)根据题意可设顶点坐标为(mm+2),将顶点坐标代入二次函数y=2x2-3x-4得:m+2=2m2-3m-4,解得:m=3-1,即可求解;

3)根据函数与x轴交点判断出:当-3≤x≤-1时,函数在x=-1时取得最小值,即a=1+2-4=-1,设抛物线的顶点为P(m2m+3)丘比特函数组另外一个交点为Q(x2x+3),则抛物线的表达式为:y=a(x-m)2+(2m+3)=-(x-m)2+(2m+3),把Q代入得:-(x-m)2+(2m+3)=2x+3,进行整理,再由韦达定理得:x+m=2m-2,解得:x=m-2,故点Qm-22m-1),即可求解.

解:(1yx24x+5(x2)2+1,即顶点坐标为(21),

x2时,y=﹣3x+5-1≠1

故一次函数y=﹣3x+5和二次函数yx24x+5不是丘比特函数组

2)设二次函数的顶点为:(mm+2),

将顶点坐标代入二次函数y2x23x4得:m+22m23m4

解得:m3或﹣1

m3时,函数顶点为(35) 则二次函数表达式为:ya(x3)2+5

又∵一次函数yx+2y轴的交点为:(02)

∴把(02)代入得:9a+52,解得:a

故抛物线的表达式为:yx2+2x+2

同理当m=﹣1时,抛物线的表达式为:yx2+2x+2

综上,抛物线的表达式为:yx2+2x+2yx2+2x+2

3)是定值,理由:

yx22x40,则x

故当﹣3≤x1时,函数在x=﹣1时取得最小值,

a1+24=﹣1

设抛物线的顶点为P(m2m+3)丘比特函数组另外一个交点为Q(x2x+3)

则抛物线的表达式为:ya(xm)2+(2m+3)=﹣(xm)2+(2m+3)

Q代入得:﹣(xm)2+(2m+3)2x+3

整理得:x2+(22m)x+(m22m)0

由韦达定理得:x+m2m2,解得:xm2,故点Q(m22m1)

PQ2,为定值.

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x

-2

-1

0

1

2

y

0

-4

-4

0

8

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