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【题目】如图,抛物线的顶点坐标为C(0,8),并且经过A(8,0),点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作直线y=8的垂线,垂足为点F,点D,E的坐标分别为(0,6),(4,0),连接PD,PE,DE.

(1)求抛物线的解析式;

(2)猜想并探究:对于任意一点P,PD与PF的差是否为固定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由;

(3)求:①当△PDE的周长最小时的点P坐标;②使△PDE的面积为整数的点P的个数.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+8;(2)PD与PF的差是定值,PD﹣PF=2;(3)①P(4,6),此时△PDE的周长最小;②共有11个令S△DPE为整数的点.

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax+h2+k

∵点C(0,8)是它的顶点坐标, ∴y=ax2+8

又∵经过点A(8,0),

有64a+8=0,解得a=

故抛物线的解析式为:y=x2+8;

(2)是定值,解答如下:

Paa2+8),则Fa,8),

D(0,6),

PD=

PF=

PDPF=2;

(3)当点P运动时,DE大小不变,则PEPD的和最小时,PDE的周长最小,

PDPF=2,∴PD=PF+2,

PE+PD=PE+PF+2,

∴当PEF三点共线时,PE+PF最小,

此时点PE的横坐标都为4,

x=4代入y=x2+8,得y=6,

P(4,6),此时PDE的周长最小.

过点P做PH⊥x轴,垂足为H

Paa2+8)

∴PH=a2+8,EH=a-4,OH=a

SDPE=S梯形PHOD-SPHE-SDOE

=

=

=

∵点P是抛物线上点AC间的一个动点(含端点)

∴0≤a≤8

a=6时,SDPE取最大值为13.

a=0时,SDPE取最小值为4.

即4≤SDPE≤13

其中,当SDPE=12时,有两个点P

所以,共有11个令SDPE为整数的点.

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