Question

4．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，-2），B（3，3），C（0，6）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△APC与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）抛物线对称轴上是否存在点Q，使∠AQC=90°？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线过A、B、C三点，利用待定系数法即可求出结论；
（2）由同底的三角形面积相等可知两三角形高相等，求出直线AC的解析式，由点到直线的距离即可找出P点的坐标；
（3）设出Q点坐标，由两点间的距离公式结合勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，-2），B（3，3），C（0，6），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a-2b+c}\\{3=9a+3b+c}\\{6=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$．
故该抛物线的解析式为y=-x²+2x+6．
（2）∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+6，
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1．
假设存在符合题意的点P，设P点坐标为（1，m），直线AC的解析式为y=kx+b．
由点A（-2，-2），点C（0，6）在直线AC上可知，
$\left\{\begin{array}{l}{-2=-2k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故直线AC的解析式为4x-y+6=0．
∵△APC与△ABC的面积相等，
∴点B、点P到直线AC的距离相等，
即$\frac{|4×3-3+6|}{\sqrt{{4}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|4-m+6|}{\sqrt{{4}^{2}+（-1）^{2}}}$，
解得：m=-5，或m=20．
故抛物线对称轴上存在点P，使△APC与△ABC的面积相等，点P的坐标为（1，-5）或（1，20）．
（3）假设存在符合条件的点Q，设Q点的坐标为（1，n）．
由两点间的距离公式可知：
AC²=[0-（-2）]²+[6-（-2）]²=68，AQ²=[1-（-2）]²+[n-（-2）]²=9+（n+2）²，CQ²=（1-0）²+（n-6）²=1+（n-6）²，
∵∠AQC=90°，
∴AC²=AQ²+CQ²，
即68=9+（n+2）²+1+（n-6）²，
解得：n=2±$\sqrt{13}$．
故抛物线对称轴上存在点Q，使∠AQC=90°，Q点坐标为（1，2+$\sqrt{13}$）或（1，2-$\sqrt{13}$）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式、点到直线的距离以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解析式；（2）同底等高的三角形面积相等；（3）两点间的距离公式结合勾股定理得出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）没有难度；（2）（3）需要用到点到直线的距离．解决该类型题目时，可以假设存在符合条件的点，设出点的坐标，利用已知条件将求坐标转化成求一元二次方程的根．