Question

18．如图，点P为长方形ABCD周长上的一个动点，它以每秒1厘米的速度从A点出发沿顺时针方向运动．
（1）点P出发后2秒到达B点，当点P落在BC边上时，△APD的面积为4平方厘米，求长方形ABCD的周长．
（2）点P到达B点时，动点Q从点A出发以每秒1.5厘米的速度沿顺时针方向开始运动，点Q在到达D点前能追上点P吗？若能，此时△AQD的面积是多少平方厘米？
（3）如果Q点第1次追上P点后，P、Q两个点继续沿顺时针方向运动，且P、Q两点的速度均提高20%，那么Q点第2次追上P点时，△AQD的面积是多少平方厘米？
（4）如果Q点第1次追上P点后调头继续以原速运动，那么当P、Q两点再次相遇时，△QCD的面积是多少平方厘米？

Answer 1

分析 （1）根据路程、速度和时间的关系求得AB的长，然后利用三角形面积公式求得AD的长，则长方形的周长即可求得；
（2）Q追上P则Q比P多运动2cm，列方程即可求得时间，然后确定Q所在的位置，然后根据三角形的面积公式求解；
（3）Q点第2次追上P点时，则Q与P的路程的差是长方形的周长，据此即可列方程求得时间，然后确定Q所在的位置，然后根据三角形的面积公式求解；
（4）Q点第1次追上P点后调头继续以原速运动，那么当P、Q两点再次相遇时，P和Q运动的距离的和等于长方形的周长，据此即可列方程求得时间，然后确定Q所在的位置，然后根据三角形的面积公式求解．

解答 解：（1）AB=2×1=2，
∵S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×2AD=4，
∴AD=4，
则长方形ABCD的周长是：2×（2+4）=16；
（2）Q从B到达D所用的时间是4+2=6（秒）．
则点Q在到达D点前能追上点P．
设P追上Q所需要的时间是x秒，则1.5x-x=2，
解得：x=4．
则P追上Q用4秒的时间，此时Q在C点，则△AQD的面积是4；
（3）P、Q两点的速度均提高20%后P的速度是1.2厘米/秒，Q的速度是1.5厘米/秒．
设Q点从相遇到第2次追上P点时所用的时间是y秒，则1.8y-1.2y=16，
解得：y=$\frac{80}{3}$秒．
点P经过一周所用的时间是$\frac{16}{1.2}$=$\frac{40}{3}$秒，则经过$\frac{80}{3}$秒，则正好P回到C．
则此时，△AQD的面积是4平方厘米；
（4）P点后调头继续以原速运动，设从第一次相遇到P、Q两点再次相遇所用的时间设是z秒．
则x+1.5x=16，
解得：x=$\frac{32}{5}$．
Q从C到B所用的时间是$\frac{4}{1.5}$=$\frac{8}{3}$秒，
Q从C到A所用的时间是$\frac{4+2}{1.5}$=4秒，
Q从C到D所用时间是$\frac{4+2+4}{1.5}$=$\frac{20}{3}$＞$\frac{32}{5}$，则当相遇时，Q在AD上，则DQ=4+4+2-1.5×$\frac{32}{5}$=$\frac{2}{5}$（cm）．
则S_△QCD=$\frac{1}{2}$CD•QD=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{5}$（平方厘米）．

点评 本题考查了列方程解应用题，在运动过程中找到相等关系求得时间，然后确定相遇时点的位置是解决本题的关键．