Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，10），点B（m，0），且m＞0，把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得到△ACD，点O，B旋转后的对应点分别为点C，D．

（1）点C的坐标为　 　；

（2）①设△BCD的面积为S，用含m的代数式表示S，并直接写出m的取值范围；

②当S＝12时，请直接写出点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（10，10）；（2）①S＝m2﹣5m（m＞10）或S＝﹣m2+5m（0＜m＜10）；②点B的坐标为（12，0）或（4，0）或（6，0）．

【解析】

(1)根据旋转的性质得到AC=AO=10，∠OAC=90°，得到点C的坐标；

(2)①分点E在线段OB上、点E在线段OB的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算；

②把S=12分别代入函数关系式，计算即可．

(1)∵点A(0，10)，

∴AO=10，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴AC=AO=10，∠OAC=90°，

∴C(10，10)，

故答案为：(10，10)；

(2)①延长DC交x轴于点E，

∵点B(m，0)，

∴OB=m，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∴四边形OACE是正方形，

∴DE⊥x轴，OE=AC=10，

如图1，当点E在线段OB上时，

BE=OB﹣OE=m﹣10，

∴S=DCBE=m(m﹣10)，

即S=m2﹣5m(m＞10)，

如图2，当点E在线段OB的延长线上(点B不与O，E重合)时，

则BE=OE﹣OB=10﹣m，

∴S=DCBE=m(10﹣m)，

即S=﹣m2+5m(0＜m＜10)，

当点B与E重合时，即m=10，△BCD不存在，

综上所述，S=m2﹣5m(m＞10)或S=﹣span>m2+5m(0＜m＜10)；

②当S=12，m＞10时，m2﹣5m=12，

解得：m1=﹣2(舍去)，m2=12，

当S=12，0＜m＜10时，﹣m2+5m=12，

解得：m3=4，m4=6，

∴点B的坐标为(12，0)或(4，0)或(6，0)．