Question

【题目】如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：

（1）①∠ACE的度数是　 　； ②线段AC，CD，CE之间的数量关系是　 　．

（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）60°，AC＝CE+CD；（2）＝CE+CD，见详解；（3）4．

【解析】

（1）①先判断出∠BAD＝∠CAE，即可判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；

②由①得，△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，即可得出结论；

（2）先判断出BC＝AC，再同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；

（3）先判断出点A，D，C，E四点共圆，再由AF最小判断出四边形ADCE是矩形，即可得出结论．

解：（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，

由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ACE＝∠B＝60°，

故答案为60°；

②由（1）知，△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，

∴AC＝CE+CD，

故答案为AC＝CE+CD；

（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴BC＝，

由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD，

∴＝CE+CD；

（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，

∴ACE＝∠ABD，

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABD＝∠ACB＝45°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∵∠DAE＝90°，

∴∠BCE+∠DAE＝180°，

∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，

∵AC与DE交于点F，

∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，

即：当AF⊥DE时，AF最小，

∴∠CFD＝90°，

∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，

∵∠ADE＝45°，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AF最小＝AC＝4．