Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D，E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，
（1）求证：△ACG∽△AFC；
（2）若AC=2

2

，求AG•AF的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；首先证明∠F=∠ACG，结合∠CAG=∠FAC，即可解决问题．
（2）由△ACG∽△AFC，得到

AC

AF

=

AG

AC

，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，
延长CG，交⊙O于点H；连接AH；
∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AH

，
∴∠F=∠ACG，而∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC．
（2）∵△ACG∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AG

AC

，
∴AC²=AF•AG，而AC=2

2

，
∴AF•AG=8．

点评：该题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用圆周角定理、相似三角形的判定及其性质来分析、判断、解答．