Question

如图1，T₁，T₂分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．

（1）请你在备用图中画出圆O的内接正六边形，并简要写出作法；
（2）设圆O的半径为R，求T₂的面积（用含R的式子表示）；
（3）设⊙O的半径为R，求图2中阴影部分的面积（用含R的式子表示）．

Answer 1

考点：正多边形和圆,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）先画出60°的圆心角，确定圆心角所对的弧，在圆上依次截取与弧AB相等的弧即可；
（2）连接OG，得到Rt△OGB≌Rt△OGA，然后利用勾股定理解答；
（3）根据“阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积”，并把正六边形的面积转化为六个三角形面积的和解答．

解答：解：（1）如图

作法：①在⊙O中做圆心角∠AOB=60°；
②在⊙O上依次截取与弧AB相等的弧，得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F；
③顺次连接各点，六边形ABCDEF即为所求正六边形．

（2）如图：

∵由（1）知△AOB为等边三角形，
∴T₁的半径为R，
连接OG，可知Rt△OGB≌Rt△OGA，
∴∠OGB=60°，
∴BG=

1

2

，
设BG为x，由勾股定理有：x²+R²=（2x）²，
解得：x=

3

3

R，
外切正六边形的边长为

2 3

3

R．

（3）由图知：
阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积，
∵内接正六边形的面积为S_△AOB的六倍，S_△AOB=

3

4

R²，
∴内接正六边形的面积为：S_内=6S_△AOB=

3 3

2

R²．
∵外切正六边形的面积为S_△OGH的六倍，S_△OGH=

3

3

R²，
∴外切正六边形的面积为：S_外=6S_△OGH=2

3

R²，
∴S_阴=S_外-S_内=

3

2

R²．

点评：本题考查了正多边形和圆的有关知识，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．