Question

如图，以Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，C为AB的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与C重合，并绕点C旋转，直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F．
（1）如图1，当∠ABO=45°时，请直接写出线段CE与CF的数量关系：

 

．
（2）如图2，当∠ABO=30°时，请直接写出CE与CF的数量关系：

 

．
（3）当∠ABO=α时，猜想CE与CF的数量关系（用含有α的式子表示），并结合图2证明你的猜想．
（4）若OA=6，OB=8，D为△AOB的内心，结合图3，判断D是否在双曲线y=

3

x

上，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，连接OC，易得四边形OFCE共圆，利用∠ABO=45°，C为AB的中点，可得∠EOC=∠FOC=45°，即可得出CE=CF，
（2）如图2，连接OC，易得四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF，由∠ABO=30°，C为AB的中点，可得∠BOC=30°，∠FOC=60°，可得∠FGP=60°，所以FC=2FP=

3

r，同理可得EC=r，即可得FC=

3

EC．
（3）如图2，连接OC，易得四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF，由∠ABO=α，C为AB的中点，可得∠BOC=α，∠FOC=90°-α，可得∠FGP=90°-α，所以FC=2FP=2rsin（90°-α），同理可得EC=2rsinα，可得FC：EC=sin（90°-α）：sinα，即可求出FC与EC的关系．
（4）利用勾股定理求出AB的值，设OC为x，AC=6-x，由D为△AOB的内心，可得OE=x，BE=8-x，列出方程8-x+6-x=10，解得x=2，可得出点D（2，2）．代入双曲线y=

3

x

不成立，可得D不在双曲线y=

3

x

上．

解答：解：（1）如图1，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，
∴四边形OFCE共圆，
∵∠ABO=45°，C为AB的中点，
∴∠EOC=∠FOC=45°，
∴CE=CF，
故答案为：CE=CF．
（2）如图2，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，
∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF，
∵∠ABO=30°，C为AB的中点，
∴∠BOC=30°，
∴∠FOC=60°，可得∠FGP=60°，
∴FC=2FP=

3

r，
同理可得EC=r，
∴FC=

3

EC．
故答案为：FC=

3

EC．
（3））如图2，连接OC，
∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，
∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF，
∵∠ABO=α，C为AB的中点，
∴∠BOC=α，
∴∠FOC=90°-α，可得∠FGP=90°-α，
∴FC=2FP=2rsin（90°-α），
同理可得EC=2rsinα，
∴FC：EC=sin（90°-α）：sinα，
∴FC=

sin(90°-α)

sinα

EC．
（4）如图3，

∵OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
设OC为x，AC=6-x，
∵D为△AOB的内心，
∴OE=x，BE=8-x，
∴8-x+6-x=10，
∴x=2，
∴点D（2，2）．代入双曲线y=

3

x

不成立，
∴D不在双曲线y=

3

x

上，

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题，涉及勾股定理，切线及共圆的知识，解题的关键是求出四边形OFCE共圆．