【题目】问题:将边长为的正三角形的三条边分别等分,连接各边对应的等分点,则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个?
探究:要研究上面的问题,我们不妨先从最简单的情形入手,进而找到一般性规律.
探究一:将边长为2的正三角形的三条边分别二等分,连接各边中点,则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个?
如图①,连接边长为2的正三角形三条边的中点,从上往下看:
边长为1的正三角形,第一层有1个,第二层有3个,共有个;
边长为2的正三角形一共有1个.
探究二:将边长为3的正三角形的三条边分别三等分,连接各边对应的等分点,则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个?
如图②,连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点,从上往下看:边长为1的正三角形,第一层有1个,第二层有3个,第三层有5个,共有个;边长为2的正三角形共有个.
探究三:将边长为4的正三角形的三条边分别四等分(图③),连接各边对应的等分点,则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个?
(仿照上述方法,写出探究过程)
结论:将边长为的正三角形的三条边分别等分,连接各边对应的等分点,则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个?
(仿照上述方法,写出探究过程)
应用:将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分,连接各边对应的等分点,则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个.
【答案】探究三:16,6;结论:n, ;应用:625,300.
【解析】
探究三:模仿探究一、二即可解决问题;
结论:由探究一、二、三可得:将边长为的正三角形的三条边分别等分,连接各边对应的等分点,边长为1的正三角形共有个;边长为2的正三角形共有 个;
应用:根据结论即可解决问题.
解:探究三:
如图3,连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点,从上往下看:边长为1的正三角形,第一层有1个,第二层有3个,第三层有5个,第四层有7个,共有个;
边长为2的正三角形有个.
结论:
连接边长为的正三角形三条边的对应等分点,从上往下看:边长为1的正三角形,第一层有1个,第二层有3个,第三层有5个,第四层有7个,……,第层有个,共有个;
边长为2的正三角形,共有个.
应用:
边长为1的正三角形有=625(个),
边长为2的正三角形有 (个).
故答案为:探究三:16,6;结论:n, ;应用:625,300.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,对角线相交于点O,AC=AB, E是AB边的中点,G、F为 BC上的点,连接OG和EF,若AB=13, BC=10,GF=5,则图中阴影部分的面积为( )
A.48B.36C.30D.24
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【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,将三角形进行平移,平移后点的对应点分别是点,点,点,点,点.
(1)若,求的值;
(2)若点,其中. 直线交轴于点,且三角形的面积为1,试探究和的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图所示,菱形的顶点在轴上,点在点的左侧,点在轴的正半轴上.点的坐标为.动点从点出发,以每秒1个单位长度的速度,按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为秒.
(1)①点的坐标 .②求菱形的面积.
(2)当时,问线段上是否存在点,使得最小,如果存在,求出 最小值;如果不存在,请说明理由.
(3)若点到的距离是1,则点运动的时间等于 .
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【题目】已知:如图,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F,我们可以证明成立(不要求考生证明).
若将图中的垂线改为斜交,如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥AB交BD于点F,则:
(1)还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(2)请找出S△ABD,S△BED和S△BDC间的关系式,并给出证明.
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【题目】如图,已知∠1=∠2,要说明△ABD≌△ACD,还需从下列条件中选一个,错误的选法是( )
A. ∠ADB=∠ADCB. ∠B=∠CC. DB=DCD. AB=AC
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【题目】“格子乘法”是15世纪中叶,意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法.这种方法传入中国之后,在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下:
①先画一个矩形,把它分成p×q个方格(p,q分别为两乘数的位数)在方格上边、右边分别写下两个因数;
②再用对角线把方格一分为二,分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数;
③然后这些乘积由右下到左上,沿对角线方向相加,相加满十时向前进一;
④最后得到结果(方格左侧与下方数字依次排列).比如:
(1)图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子,则z= ,x9×784=
(2)图2是用“铺地锦”计算ab×cd的格子,已知ab×cd=2176,求m和n的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到的位置,点B、O分别落在点、处,点在x轴上,再将绕点顺时针旋转到的位置,点在x轴上,将绕点顺时针旋转到的位置,点在x轴上,依次进行下去…若点, ,则点的坐标为________.
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