Question

5．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点I，爱动脑筋的小明同学在写作业时，发现了如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠BIC=115°=90°+$\frac{50°}{2}$；
（2）若∠A=90°，则∠BIC=135°=90°+$\frac{90°}{2}$；
（3）若∠A=130°，则∠BIC=155°=90°+$\frac{130°}{2}$；
（4）根据上述规律，或∠A=150°，则∠BIC=165°．
（5）请你用数学表达式归纳出∠BIC与∠A的关系：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（6）请证明你的结论．

Answer 1

分析 （4）根据上述规律即可得到结论；
（5）根据上述规律即可得到结论；
（6）延长BI交AC于E，根据外角的性质得到∠BIC=∠IEC+∠ICE，∠IDC=∠A+∠ABD，根据角平分线的定义得到∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICE=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（4）根据上述规律，∵∠A=150°，∴∠BIC=90°+$\frac{150}{2}$=165°，
故答案为：165°；
（5）∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
故答案为：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
（6）延长BI交AC于E，
∵∠BIC是△CEI的外角，
∴∠BIC=∠IEC+∠ICE（三角形外角定理），
∵∠IEC是△ABE的外角，
∴∠IDC=∠A+∠ABD（三角形外角定理），
∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICE=$\frac{1}{2}$∠ACB（角平分线定义），
∴∠BIC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）+∠A，
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）+∠A
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟记三角形内角和是解题的关键．