Question

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），直线y=-

3

x+

3

，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数式；
（3）在（2）条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数自变量为零时，可得函数图象与y轴的交点，根据函数值为零时，可得函数图象与x轴的交点；
（2）根据勾股定理，可得 AB、BC的长，根据勾股定理逆定理，可得∠ABC的度数，根据线段的和差，可得BP的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：△AOB∽△ABP，△AOB∽△PBA，根据相似三角形的性质，可得BP的长，根据线段的和差，可得BP的长．

解答：解：（1）当y=0时，-

3

x+

3

=0解得x=1，即A点坐标是（1，0），
当x=0时，y=

3

，即B点坐标是（0，

3

）；
（2）由勾股定理得，AB=

OB2+OA2

=

( 3 )2+12

=2，
BC=

OB2+OC2

=

( 3 )2+(-3)2

=2

3

．
由勾股定理的逆定理，得
AB²+CB²=2²+（2

3

）²=16，AC²=[1-（-3）]²=16，
AB²+BC²=AC²，
△ABC是直角三角形，∠ABC是直角．
CP=t，当P在线段BC上时，BP=BC-CP=2

3

-t，当P在线段BC的延长线上时，BP=t-2

3

；
由直角三角形的面积公式，得S=

1

2

BP•AB，即
S=

2 3 -t(0＜t＜2 3) t-2 3 (t＞2 3 )

；
（3）存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，
如图：
，
当△AOB∽△ABP时，

AO

AB

=

BO

BP

，解得BP=2

3

，P₁（-3，0），P₃（3，2

3

）；
当△AOB∽△PBA时，

AO

BP

=

BO

AB

，解得BP=

2 3

3

，PC=

4

3

3

，由特殊角三角函数值，得P₂（-1，

2 3

3

），P₄（1，

4 3

3

）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了函数值与自变量的关系，勾股定理及逆定理，相似三角形的性质．