Question

【题目】已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；

（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5x﹣；（2）2；（3）M点的坐标为（2，﹣1）或（4，3）．

【解析】试题分析：（1）①首先求得直线与x轴，y轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；

②N在直线上同时在二次函数上，因而设N的横坐标是a，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得a的值，即N的坐标，过N作NC⊥x轴，垂足为C，利用勾股定理即可求得MN的长；

（2）△AOB的三边长可以求得OB=2OA，AB边上的高可以求得是，抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移，则MN的长度不变，根据（1）的结果是2，MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似，据此即可求得M的坐标．

试题解析：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，

∴A(，0)，B（0，-5）．

当顶点M与点A重合时，

∴M(，0)．

∴抛物线的解析式是：y＝(x)2．即y＝x2+5x．

②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线y＝x2+5x上，

∴2a5＝a2+5a．

解得a1＝，a2＝（舍去）

∴N(，4)．

过N作NC⊥x轴，垂足为C．

∵N(，4)，

∴C(，0)．

∴NC=4．MC＝OMOC＝＝2．

∴MN＝；

（2）设M（m，2m-5），N（n，2n-5）．

∵A(，0)，B（0，-5），

∴OA=，OB=5，则OB=2OA，AB=，

当∠MON=90°时，∵AB≠MN，且MN和AB边上的高相等，因此△OMN与△AOB不能全等，

∴△OMN与△AOB不相似，不满足题意．

当∠OMN=90°时， ，即，解得OM=，

则m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，

∴M（2，-1）；

当∠ONM=90°时， ，即，解得ON=，

则n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，

∵OM2=ON2+MN2，

即m2+（2m-5）2=5+（2）2，

解得m=4，

则M的坐标是M（4，3）．

故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．