Question

【题目】已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(与点A. C不重合)，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，当点E落在线段CD上时(如图)，

（1）求证：PB=PE；

（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化?若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．

(1)①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1.

∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，

∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.

∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠BPG=90°∠GPE=∠EPH.

在△PGB和△PHE中，

.

∴△PGB≌△PHE(ASA)，

∴PB=PE.

②连接BD，如图2.

∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOP=90°.

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90∠BPO=∠EPF.

∵EF⊥PC即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE.

在△BOP和△PFE中，

，

∴△BOP≌△PFE(AAS)，

∴BO=PF.

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC,∠BOC=90，

∴BC= OB.

∵BC=1,∴OB= ，

∴PF=.

∴点PP在运动过程中,PF的长度不变,值为.