Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D是 上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DFDB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，

∴∠EAB=∠CBE，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE， = ，

∴∠DEA=∠DBE，

∵∠EDB=∠BDE，

∴△DEF∽△DBE，

∴ = ，

∴DE2=DFDB；

（3）解：连接DA、DO，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠EBD=∠OBD，

∴∠EBD=∠ODB，

∴OD∥BE，

∴ = ，

∵PA=AO，

∴PA=AO=OB，

∴ =

∴ = ，

∴ = ，

∵DE=2，

∴PD=4，

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE，

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD，

∵∠P=∠P，

∴△PDA∽△POD，

∴ = ，

设OA=x，

∴PA=x，PO=2x，

∴ = ，

∴2x2=16，x=2 ，

∴OA=2 ．

【解析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出 = ，然后根据已知条件得出 = = = ，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出 = ，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出 = ，解得OA=2 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的判定定理和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．