Question

11．已知：矩形ABCD，AD=2AB，E，F分别为AD，BC中点，连接EF，点M，N为矩形ABCD边上的点，EM=EN且EM⊥EN，点P为MN中点．
（1）当点M在AB上，点N在BC上时（如图1）
①求证：AM=FN；
②若BM=4，求PF的长；
（2）当点M在BC上，点N在CD上时（如图2），求$\frac{BM}{PF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①作MQ丄EF于点Q，延长FP交MQ于点G在矩形ABCD中，由AD=BC，AD∥BC，于是得到AD=2AB=2AE，证得AB=AE，求出四边形ABFE是正方形，于是得到AE=EF，∠A=∠EFN=90°，推出R_t△AME≌R_t△EFN，根据全等三角形的性质得到AM=FN；②由∠EFN=∠MEN=90°，得到∠MEF=∠ENF，证出△MEQ≌△EFN，得到EQ=NF，于是得到△MG≌△NFP，证得MG=NF，GP=PF，由于MQ=EF，得到EF-EQ=MQ-MG，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）证明：过N作NQ丄EF于点Q，延长FP交QN于点G，同理可证GF=$\sqrt{2}$FQ，QF=BM，于是得到FP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$BM，即可证得结论．

解答 （1）①证明：作MQ丄EF于点Q，延长FP交MQ于点G
在矩形ABCD中，
∵AD=BC，AD∥BC，
∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AD=2AB=2AE，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是正方形，
∴AE=EF，∠A=∠EFN=90°，
在Rt△AME与Rt△EFN中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{EM=EN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△EFN，
∴AM=FN；
②解：∵∠EFN=∠MEN=90°，
∴∠MEF=∠ENF，
在△MEQ与△EFN中$\left\{\begin{array}{l}{∠MEF=∠ENF}\\{∠MQE=∠EFN}\\{ME=EN}\end{array}\right.$，
∴△MEQ≌△EFN，
∴EQ=NF，
在△MGP与△NFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GMP=∠PNF}\\{PM=PN}\\{∠MPG=∠NPF}\end{array}\right.$，
∴△MGP≌△NFP，
∴MG=NF，GP=PF，
∴MG=FN=EQ，
∵MQ=EF，
∴EF-EQ=MQ-MG，
∴QF=GQ，
∵∠MQF=90°，
∴GF=$\sqrt{2}$QF=$\sqrt{2}$BM=4$\sqrt{2}$，
∴$PF=2\sqrt{2}$；

（2）证明：过N作NQ丄EF于点Q，延长FP交QN于点G，
同理可证GF=$\sqrt{2}$FQ，QF=BM，
∴FP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$BM，
∴$\frac{BM}{PF}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．