【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的一边AB在x轴上,∠ABC=90°,点C(4,8)在第一象限内,AC与y轴交于点E,抛物线y=+bx+c经过A、B两点,与y轴交于点D(0,﹣6).
(1)请直接写出抛物线的表达式;
(2)求ED的长;
(3)点P是x轴下方抛物线上一动点,设点P的横坐标为m,△PAC的面积为S,试求出S与m的函数关系式;
(4)若点M是x轴上一点(不与点A重合),抛物线上是否存在点N,使∠CAN=∠MAN.若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=;(2)
;(3)S=﹣
m2+
m+26(﹣2<m<4);(4)(
,
);(
,﹣
)
【解析】
(1)先确定B(4,0),再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=;
(2)先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+
,则可确定E(0,
),然后计算DE的长;
(3)如图1,作PQ∥y轴交AC于Q,设P(m,m2-
m-6),则Q(m,
m+
),则PQ=-
m2+
m+
,然后根据三角形面积公式,利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可;
(4)如图2,当点M在x的正半轴,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,根据角平分线的性质得FH=FB,易得AH=AB=6,再利用∠ACB的余弦可求出CF=5,则F(4,3),接着求出直线AF的解析式为y=x+1,于是通过解方程组
得N点坐标为(
,
);当点M′在x的负半轴上时,AN′交y轴与G,先在证明∴Rt△OAG∽Rt△BFA,在利用相似比求出OG=4,所以G(0,-4),接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-2x-4,然后解方程组
得N′的坐标.
(1)∵BC⊥x轴,点C(4,8),
∴B(4,0),
把B(4,0),C(0,-6)代入y=x2+bx+c得
,解得
,
∴抛物线解析式为y=x2-
x-6;
(2)设直线AC的解析式为y=px+q,
把A(-2,0),C(4,8)代入得
,解得
,
∴直线AC的解析式为y=x+
,
当x=0时,y=x+
=
,则E(0,
),
∴DE=+6=
;
(3)如图1,作PQ∥y轴交AC于Q,
设P(m,m2-
m-6),则Q(m,
m+
),
∴PQ=m+
-(
m2-
m-6)=-
m2+
m+
,
∴S=S△PAQ+S△PCQ=×6×PQ=-
m2+
m+26(-2<m<4);
(4)如图2,当点M在x的正半轴,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,则FH=FB,
易得AH=AB=6,
∵AC=,
∴CH=10-6=4,
∵cos∠ACB=,
∴CF==5,
∴F(4,3),
易得直线AF的解析式为y=x+1,
解方程组得
或
,
∴N点坐标为(,
);
当点M′在x的负半轴上时,AN′交y轴与G,
∵∠CAN′=∠M′AN′,
∴∠KAM′=∠CAK,
而∠CAN=∠MAN,
∴∠KAC+∠CAN=90°,
而∠MAN+∠AFB=90°,
∴∠KAC=∠AFB,
而∠KAM′=∠GAO,
∴∠GAO=∠AFB,
∴Rt△OAG∽Rt△BFA,
∴,即
,解得OG=4,
∴G(0,-4),
易得直线AG的解析式为y=-2x-4,
解方程组得
或
,
∴N′的坐标为(,-
).
综上所述,满足条件的N点坐标为(,
), (
,-
).
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【题目】已知如图,在射线AB上依次作正方形A1B1B2C1、正方形A2B2B3C2、正方形A3B3B4C3…,点A1,A2,A3,…在射线OA上,点B1,B2,B3,…在射线OB上,若AB1=A1B1=1,则正方形AnBnBn+1Cn的边长为 _______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点C在第一象限,顶点A、B的坐标分别为(1,0),(4,0),∠CAB=90°,BC=5.抛物线y=+bx+c与边AC,y轴的交点的纵坐标分别为3,
.
(1)求抛物线y=+bx+c对应的函数关系式;
(2)若将抛物线y=+bx+c经过平移后的抛物线的顶点是边BC的中点,写出平移过程;
(3)若抛物线y=+bx+c平移后得到的抛物线y=
+k经过(﹣5,y1),(3,y2)两点,当y1>y2>k时,直接写出h的取值范围.
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【题目】如图1,△ABD,△ACE都是等边三角形,
(1)求证:△ABE≌△ADC;
(2)若∠ACD=15°,求∠AEB的度数;
(3)如图2,当△ABD与△ACE的位置发生变化,使C、E、D三点在一条直线上,求证:AC∥BE.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)当AB=2BE,且CE=时,求AD的长.
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【题目】如图,
中,
,点
在
的延长线上,点
在
上,
,点
是
与
的交点,且
.
图
中是否存在与
相等的角?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由;
求证:
;
若将“点
在
的延长线上,点
在
上”和“点
是
与
的交点,且
”分别改为“点
在
上,点
在
的延长线上”和“点
是
的延长线与
的交点,且
”,其他条件不变(如图
).当
,
时,求
的长(用含
、
的式子表示).
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【题目】(1)已知:如图1,点A、D、C、B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.
(2)如图2所示,△ABC的顶点分别为A(﹣4,5),B(﹣3,2),C(4,﹣1)
①作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;
②用三角板作出△ABC的AB边上的高CH.
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