Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

Answer 1

              （1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°

∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠CBO=∠ABP，

∴∠BOC=∠APB，

∵∠BOC=∠AOP，

∴∠AOP=∠APB，

∴AP=AO；

（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，

∵∠CBO=∠ABP，

∴CO=DO，

∵AE=OC，

∴AE=OD，

∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，

∴∠AOD=∠PAE，

在△AOD和△PAE中，

，

∴△AOD≌△PAE（SAS），

∴∠AEP=∠ADO=90°

∴PE⊥AO；

（3）解：设AE=OC=3k，

∵AE=AC，∴AC=8k，

∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，

∴OA=OE+AE=5k．

由（1）可知，AP=AO=5k．

如图，过点O作OD⊥AB于点D，

∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．

在Rt△AOD中，AD===4k．

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．

∵OD∥AP，

∴，即

解得k=1，

∵AB=10，PE=AD，

∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3

在Rt△BDO中，由勾股定理得：

BO===3．