Question

1．如图，CE，CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D．
（1）∠ECF=90°．
（2）试说明：DE=DF．
（3）当∠ACB=90°时，△CEF为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACG，则∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG），然后根据平角的定义即可得到∠ACE+∠ACF=90°；
（2）利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED，CD=DF，然后等量代换即可证明DE=DF；
（3）在Rt△CEF中，CF=EF，求得∠FEC=45°，根据平行线的性质得到∠BBCE=45°，求得∠ACB=2∠ECB=90°，即可得到结论．

解答 解：（1）∵CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG），
而∠ACB+∠ACG=180°，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠ECF=90°；
故答案为：90°；

（2）∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CF为外角∠ACG的平分线，
∴∠ACF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠GCF=∠F，∠BCE=∠CEF．
∴∠ACE=∠CEF，∠F=∠DCF．
∴CD=ED，CD=DF（等角对等边）．
∴DE=DF

（3）当∠ACB=90°时，△CEF为等腰三角形．
在Rt△CEF中，CF=EF，
∴∠FEC=45°，
∴∠BBCE=45°，
∴∠ACB=2∠ECB=90°，
即∠ACB=90°时，△CEF为等腰三角形．
故答案为：90°．

点评 本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．