Question

1．如图，△ABC中，∠BCA=45°，点D在AC上，∠BDA=60°，AD=2DC，AE⊥BD于E．求证：
（1）DE=DC；
（2）EA=EB．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和得到∠EAD=30°，根据含30°的角的直角三角形的性质得到AD=2DE，然后又已知条件即可得到结论；
（2）连接CE，根据等腰三角形的性质和外角的性质得到∠DCE=∠DEC=30°，∠ECB=∠EBC，由等腰三角形的判定得到BE=CE，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AE⊥BD于E，
∴∠AED=90°，
∵∠BDA=60°，
∴∠EAD=30°，
∴AD=2DE，
∵AD=2DC，
∴DE=CD；

（2）连接CE，
∵DE=DC，∠ADE=60°，
∴∠DCE=∠DEC=30°，
∵∠BCA=45°，
∴∠ECB=∠ACB-∠DCE=15°，∠EBC=∠ADB-∠ACB=15°，
∴∠ECB=∠EBC，
∴BE=CE，
∵∠EAD=30°，
∴∠EAD=∠ECD=30°，
∴AE=CE．
∴AE=BE．

点评 本题考查了含30°的角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．