(1)画图探究:如图1.若点A.B在直线l的同侧.在直线l上求作一点P.使AP+BP的值最小(保留作图痕迹.不写作法)．(2)实践运用:如图2.在△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC=2.E为AB的中点.P是BC上一动点.则PA+PE的最小值是$\sqrt{5}$,(3)拓展延伸:如图3.∠AOB=30°.P是∠AOB内一定点.PO=10.Q.R分别是OA.OB上的动点.求△PQR周长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．（1）画图探究：如图1，若点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）实践运用：如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为AB的中点，P是BC上一动点，则PA+PE的最小值是$\sqrt{5}$；
（3）拓展延伸：如图3，∠AOB=30°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

分析（1）根据轴对称-最短路线问题解答；
（2）作点A关于BC的对称点D，连接ED交BC于P，则PA+PE的值最小，连接BD，根据勾股定理求出DE即可．
（3）根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可．

解答解：（1）如图1所示，当P即为所求；
（2）如图2，作点A关于BC的对称点D，连接ED交BC于P，则PA+PE的值最小，连接BD，
由题意得，∠ABD=90°，∠DBC=45°，
∴BD=AB=2，又BE=$\frac{1}{2}$AB=1，
由勾股定理得，DE=$\sqrt{B{D}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则PA+PE的最小值是$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；
（3）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=10，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，
则△MON为等边三角形，
∴MN=10，
∵QP=QM，RN=RP，
∴△PQR周长=MN=10．

点评本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用．

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