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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=6,∠DBC=30°,DM平分∠BDC交BC于M,△EFG中,∠F=90°,GF= ,∠E=30°,点F、G、B、C共线,且G、B重合,△EFG沿折线B﹣M﹣D方向以每秒 个单位长度平移,得到△E1F1G1 , 平移过程中,点G1始终在折线B﹣M﹣D上,△E1F1G1与△DBM无重叠时,△E1F1G1停止运动,设△E1F1G1与△DBM重叠部分面积为S,平移时间为t,

(1)当△E1F1G1的顶点G1恰好在BD上时,t=秒;
(2)直接写出S与t的函数关系式,及自变量t的取值范围;
(3)如图2,△E1F1G1平移到G1与M重合时,将△E1F1G1绕点M旋转α°(0°<α<180°)得到△E2F2G1 , 点E1、F1分别对应E2、F2 , 设直线F2E2与直线DM交于P,与直线DC交于Q,是否存在这样的α,使△DPQ为直角三角形?若存在,求α的度数和DQ的长;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)3
(2)

解:在Rt△DCM中,∵∠C=90°,CD=6,∠CDM=30°,

∴CM=2 ,DM=4

∴BM=4

①如图2中,当0<t≤4时,重叠部分是四边形NF1GH,

S=S ﹣S = ×3× (2 t)(2﹣ t)=﹣ t2+2 t﹣

②如图3中,当4<t≤7时,重叠部分是四边形GHNF1

S=S ﹣S = [2 (8 t)][2﹣ (8﹣t)]=﹣ t2+ t﹣

③如图4中,当7<t≤8时,重叠部分是△GHN,

S= (8 t) (8 t)= t2﹣6 t+24

综上所述,S=


(3)

解:存在.

理由:①如图5中,当∠DQP=90°时,

∵∠QCM=∠CQF2=∠QF2M=90°,

∴四边形MCQF2是矩形,

∴CQ=MF2= ,∠F2MC=90°

∴α=90°,DQ=CD﹣CQ=6=

②如图6中,当∠DPQ=90°时,点P与点F2重合,点E、Q、C重合,此时α=120°,DQ=CD=6.

综上所述,当α=90°,DQ=6﹣ 或α=120°,DQ=6时,△DPQ为直角三角形


【解析】解:(1)如图1中,连接AC交BD于点O,作OH⊥BC于点H.

∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=6,BO=OD,
∴BH=HC,
∴OH= CD=3,
在Rt△DBC中,∵CD=6,∠DBC=30°,
∴BC=6 ,BD=12,BH=HC=3
∵在△EFG中,∠F=90°,GF= ,∠E=30°,
∴EF=3,EB=2
∴当△E1F1G1的顶点E1恰好在BD上时,点E平移到点O处.
此时t= =3,
∴t=3时,△E1F1G1的顶点E1恰好在BD上,
所以答案是3.
【考点精析】关于本题考查的翻折变换(折叠问题),需要了解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等才能得出正确答案.

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(1)扇形统计图中x= , 并补全折线统计图;
(2)某中学也积极参与“绿色山城,低碳出行”活动中,决定从4名广播社骨干成员中(其中两名男生,两名女生)选拔两名同学去演讲宣传,请用画树形图或列表的方法求所选出的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率.

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3,-,0.5,2π,3.14159265,-,1.103030030003…(

邻两个3之间依次多10).

(1) 有理数集合:{ };

(2) 无理数集合:{ };

(3) 实数集合:{ };

(4) 负实数集合:{ }.

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