Question

1．如图点M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A→B→C→D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为y，点P运动的路程为x，请解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当以P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形时，直线MP已扫过正方形所形成的面积是多少？

Answer 1

分析 （2）①当0≤x≤4时，AP=x，直线MP扫过正方形所形成的图形为Rt△MAP，其面积为：y₁=$\frac{1}{2}$AM•AP=$\frac{1}{2}$×2×x=x；②当4＜x≤8时，BP=x-4，直线MP扫过正方形所形成的图形为梯形MABP，其面积为：y₂=$\frac{1}{2}$（AM+PB）•AB=$\frac{1}{2}$[2+（x-4）]×4=2x-4；③当8＜x≤12时，DP=12-x．直线MP扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP，其面积为：y₃=S_{正方形ABCD}-S_Rt△MPD=x+4；
（2）①当点P在AB上，PB=PM时，列方程求得x=$\frac{3}{2}$，得到y=$\frac{1}{2}•AP•AM$=$\frac{1}{2}$×$2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，②点P在BC上，BM=PM时，由M是AD的中点，得到P与C重合，求得x=8，于是得到y=4×4-$\frac{1}{2}×2×4$=12，③当点P在CD上，BM=BP时，列方程求得x=10，x=6＜8（舍去），于是得到y=16-$\frac{1}{2}×2×2$=14；④当点P在CD上，PM=BP时，列方程求得x=8.5，于是得到y=16-$\frac{1}{2}×2×3.5$=12.5．

解答 解：（1）①当0≤x≤4时，点P由A→B在AB线段上运动，AP=x，
直线MP扫过正方形所形成的图形为Rt△MAP，
其面积为：y₁=$\frac{1}{2}$AM•AP=$\frac{1}{2}$×2×x=x；
②当4＜x≤8时，点P由B→C在BC线段上运动，BP=x-4，直线MP扫过正方形所形成的图形为梯形MABP，
其面积为：y₂=$\frac{1}{2}$（AM+BP）•AB=$\frac{1}{2}$[2+（x-4）]×4=2x-4；
③当8＜x≤12时，点P由C→D在CD线段上运动，DP=12-x．直线MP扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP，
其面积为：y₃=S_{正方形ABCD}-S_Rt△MPD=4²-$\frac{1}{2}$MD•DP=16-$\frac{1}{2}$×2×（12-x）=x+4；

（2）①当点P在AB上，PB=PM时，
∵PB=4-x，PM=$\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$，
∴4-x=$\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}•AP•AM$=$\frac{1}{2}$×$2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
②点P在BC上，BM=PM时，
∵M是AD的中点，
∴P与C重合，
∴x=8，y=4×4-$\frac{1}{2}×2×4$=12，
③当点P在CD上，BM=BP时，
∵BM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{{4}^{2}+（x-8）^{2}}$，
即：2$\sqrt{5}$=$\sqrt{{4}^{2}+（x-8）^{2}}$，解得：x=10，x=6＜8（舍去），
∴y=16-$\frac{1}{2}×2×2$=14；
④当点P在CD上，PM=BP时，
∵PM=$\sqrt{{2}^{2}+（12-x）^{2}}$，PB=$\sqrt{{4}^{2}+（x-8）^{2}}$，
解得：x=8.5，
∴y=16-$\frac{1}{2}×2×3.5$=12.5．

点评 此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，是一道综合性很强的题．