【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E(m,2)是直线AC上方的抛物线上一点,连接EA、EB、EC,EB与y轴交于D.
①点F是x轴上一动点,连接EF,当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时,求出线段EF的长;
②点G为y轴左侧抛物线上一点,过点G作直线CE的垂线,垂足为H,若∠GCH=∠EBA,请直接写出点H的坐标.
【答案】(1)y=﹣x+3;(2)①EF的长为2或2;②点H的坐标为(﹣,)或(﹣).
【解析】
(1)用待定系数法求出函数解析式即可;
(2)①得出,当时,当时,可求出的长;
②(Ⅰ)求出直线的解析式为,得出,则,得出,由,设,则,,则,解得,,可求出点的坐标;
(Ⅱ)过点作,过点作于点,过点作于点,证得,由(Ⅰ)知:,则,设,则,证明,则,,又,得出,代入中,得,可求出点坐标.
解:(1)将A(﹣3,0)、B(2,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c得,
,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x+3;
(2)①将E(m,2)代入y=﹣x+3中,
得﹣m+3=0,解得m=﹣2或1(舍去),
∴E(﹣2,2),
∵A(﹣3,0)、B(2,0),
∴AB=5,AE=,BE=2,
∴AB2=AE2+BE2,
∴∠AEB=∠DOB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=∠ODB+∠EBA=90°,
∴∠EAB=∠ODB,
(Ⅰ)当△FEA∽△BOD时,
∴∠AEF=∠DOB=90°,
∴F与B点重合,
∴EF=BE=2,
(Ⅱ)当△EFA∽△BOD时,
∴∠AFE=∠DOB=90°,
∵E(﹣2,2),
∴EF=2,
故:EF的长为2或2;
②点的坐标为,或,,
(Ⅰ)过点H作HN⊥CO于点N,过点G作GM⊥HN于点M,
∴∠GMN=∠CNH=90°,
又∠GHC=90°,
∴∠CHN+∠GHM=∠MGH+∠GHM=90°,
∴∠CHN=∠MGH,
∵HN⊥CO,∠COP=90°,
∴HN∥AB,
∴∠CHN=∠APE=∠MGH,
∵E(﹣2,2),C(0,3),
∴直线CE的解析式为y=x+3,
∴P(﹣6,0),
∴EP=EB=2,
∴∠APE=∠EBA,
∵∠GCH=∠EBA,
∴∠GCH=∠APE=∠EBA=∠CHN=∠MGH,
∴GC∥PB,
又C(0,3),
∴G点的纵坐标为3,代入y=﹣x+3中,得:x=﹣1或0(舍去),
∴MN=1,
∵∠AEB=90°,AE=,BE=2,
∴tan∠EBA=tan∠CHN=tan∠MGH=,
设CN=MG=m,则HN=2m,MH=m,
∴MH+HN=2m+m=1,
解得,m=,
∴H点的橫坐标为﹣,代入y=x+3,得:y=,
∴点H的坐标为(﹣,).
(Ⅱ)过点H作MN⊥PB,过点C作CN⊥MH于点N,过点G作GM⊥HM于点M,
∴CN∥PB,
∴∠NCH=∠APE,
由(Ⅰ)知:∠APE=∠EBA,则∠NCH=∠EBA,
∵∠GMN=∠CNH=90°,
又∠GHC=90°,
∴∠HCN+∠NHC=∠MHG+∠NHC=90°,
∴∠HCN=∠MHG,
∵∠GCH=∠EBA,
∴∠GCH=∠EBA=∠HCN=∠MHG,
由(Ⅰ)知:,则,
,
又,
,
,
,
,
由(Ⅰ)知:,
则,
设,则,
,,
,
,
,,又,
,代入中,得,或0(舍去),
,
点的橫坐标为,代入,得,.
点的坐标为.
综合以上可得点的坐标为,或.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
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【题目】新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元?
(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶,且总费用为1400元,求购买了多少瓶乙品牌消毒剂?
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【题目】某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字40个,比赛结束后随机抽查部分学生听写“正确的字数”,以下是根据抽查结果绘制的统计图表.
频数分布表
组别 | 正确的字数 | 人数 |
0.5~8.5 | 10 | |
8.5~16.5 | 15 | |
16.5~24.5 | 25 | |
24.5~32.5 | ||
32.5~40.5 |
根据以上信息解决下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是_________;
(3)若该校共有1210名学生,如果听写正确的字数少于25,则定为不合格;请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.
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【题目】如图,在等边△ABC内任取一点D,连接CD,BD得到△CDB,如果等边△ABC内每一点被取到的可能性都相同,则△CBD是钝角三角形的概率是______.
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【题目】为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿,从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图(例如,早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%).
用户分类 | 人数 |
A:早期体验用户(目前已升级为5G用户) | 260人 |
B:中期跟随用户(一年内将升级为5G用户) | 540人 |
C:后期用户(一年后才升级为5G用户) | 200人 |
下列推断中,不合理的是( )
A.早期体验用户中,愿意为5G套餐多支付10元,20元,30元的人数依次递减
B.后期用户中,愿意为5G套餐多支付20元的人数最多
C.愿意为5G套餐多支付10元的用户中,中期跟随用户人数最多
D.愿意为5G套餐多支付20元的用户中,后期用户人数最多
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【题目】如图,半圆O的直径AB=6cm,点M在线段AB上,且BM=1cm,点P是上的动点,过点A作AN⊥直线PM,垂足为点N.
小东根据学习函数的经验,对线段AN,MN,PM的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)对于点P在上的不同位置,画图、测量,得到了线段AN,MN,PM的长度的几组值,如表:
位置1 | 位置2 | 位置3 | 位置4 | 位置5 | 位置6 | 位置7 | |
AN/cm | 0.00 | 3.53 | 4.58 | 5.00 | 4.58 | 4.00 | 0.00 |
MN/cm | 5.00 | 3.53 | 2.00 | 0.00 | 2.00 | 3.00 | 5.00 |
PM/cm | 1.00 | 1.23 | 1.57 | 2.24 | 3.18 | 3.74 | 5.00 |
在AN,MN,PM的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 和 的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当AN=MN时,PM的长度约为 cm.
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【题目】2015﹣2016年CBA联赛,吉林九台农商行队把长春体育馆作为自己的主场,小球迷“球球”对自己学校部分学生对去赛场为球队加油助威进行了抽样调查,根据收集到的数据绘制了如下的统计图表.(调查情况说明:A:特别愿意去;B:愿意去;C:去不去都行;D:不愿意去)
(1)求出不愿意去的学生的人数占被调查总人数的百分比;
(2)求出扇形统计图中C所在的扇形圆心角的度数;
(3)若该校学生共有2000人,请你估计特别愿意去加油助威的学生共有多少人?
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【题目】运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度,为了解A,B两种语音识别输入软件的可读性,小秦同学随机选择了20段话,其中每段话都含有100个字(不计标点符号),在保持相同条件下,标准普通话来测试两种语音识别输入软件的准确性,整个测试分析过程如下,请补充完整.
(1)收集数据:两种软件每次识别正确的字数记录如下:
(2)整理,描述数据:根据上面得到的两组样本数据,绘制了分布直方图
(3)分析数据:两组样本数据的平均数,众数,中位数,方差如下表所示
平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
A | 84.7 | 84.5 | 88.91 | |
B | 83.7 | 96 | 184.01 |
(4)得出结论:根据以上信息.判断____种语音识别输入软件的准确性较好,理由如下._______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性) .
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