Question

如图1，P是∠AOB的平分线OC上的一点，过点分别作OA，OB的垂线，垂足分别为点D和点H，E是线段上一点是线段OD上一点，且DE=FH；

（1）证明：点P在线段EF的中垂线上；
（2）如果点E在射线DA上，如图2，其余的条件都不变，那么（1）的结论是否依然成立？

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PH，再利用“HL”证明Rt△OPH和Rt△OPD全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OH，然后求出OE=OF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明；
（2）连接PE、PF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PH，再利用“边角边”证明△PED和△PFH全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=PF，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．

解答：（1）证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PD=PH，
在Rt△OPH和Rt△OPD中，

OP=OP PD=PH

，
∴Rt△OPH≌Rt△OPD（HL），
∴OD=OH，
∵DE=FH，
∴OD-DE=OH-FH，
即OE=OF，
∴点P在线段EF的中垂线上；

（2）解：结论依然成立．
理由如下：连接PE、PF，
∵PD⊥OA，PH⊥OB，
∴∠PDE=∠PHF=90°，
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PD=PH，
在△PED和△PFH中，

PD=PH ∠PDE=∠PHF=90° DE=FH

，
∴△PED≌△PFH（SAS），
∴PE=PF，
∴点P在线段EF的中垂线上．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．