Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点与关于抛物线的对称轴对称．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；

(2)点是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点的坐标；

(3)过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点，已知点的横坐标是，试用含的式子表示的长及△ADM的面积，并求当的长最大时的值．

Answer 1

【答案】【解析】（1）y=（x-1）2-4， 点D的坐标为（2，-3）；(2)点P的坐标为或或(1,-4)；（3）当,，当MN的长最大时S的值为.

【解析】

（1）根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为（a，b），由三角形的面积公式结合△ABP的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
（3）根据点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，由点M的横坐标为m可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长，结合S=S△AMN+S△DMN可用含m的式子表示△ADM的面积S，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）2+n，得，-3=（0-1）2+n，

解得n=-4，∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，

∴抛物线的对称轴为直线x=1∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴点D的坐标为（2，-3）．

（2）当y=0时，（x-1）2-4=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），AB=3-（-1）=4．
设点P的坐标为（a，b），
∵△ABP的面积是8，
∴AB|b|=8，即

×4|b|=8，
∴b=±4．
当b=4时，（a-1）2-4=4，解得：a1=1-2，a2=1+2，
∴点P的坐标为（1-2，4）或（1+2，4）；
当b=-4时，（a-1）2-4=-4，解得：a3=a4=1，
∴点P的坐标为（1，-4）．
∴当△ABP的面积是8，点P的坐标为（1-2，4）或（1+2，4）或（1，-4）．

（3）设直线AD的解析式为y=kx+c（k≠0），
将A（-1，0），D（2，-3）代入y=kx+c，得：

，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=-x-1．
∵点M的横坐标是m（-1＜m＜2），
∴点M的坐标为（m，（m-1）2-4），点N的坐标为（m，-m-1），
∴MN=-m-1-[（m-1）2-4]=-m2+m+2（-1＜m＜2），S=S△AMN+S△DMN=MN（m+1）+MN（2-m）=mn=-m2+m+3（-1＜m＜2）．
∵MN=-m2+m+2=-（m-）2+，-1＜0，
∴当m=时，MN取得最大值，最大值为，此时S的值为×=，
∴当MN的长最大时S的值为．