Question

15．在平面直角坐标系中，以D（-4，$\sqrt{7}$）为圆心的⊙D与y轴相切于点Q，与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（-1，0）．以CD为对称轴的抛物线与⊙D交于A、B两点，点C坐标为（-4，9）．CD与x轴交于点H
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）P为直线AC上方抛物线上一点，当S_△APC=$\frac{2}{9}{S_△}$AHC时，求点P坐标
；
（3）PM⊥AC于点M，PE⊥x轴于点E且与AC交于点N，△PMN的周长为l，求l的最大值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）²+9．将B（-1，0）代入求得a的值即可；由抛物线的对称性求得点A的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-7，0）、C（-4，9）代入求解即可；
（2）由题意可求得S_△APC=3．设p（a，-a²-8a-7），N（a，3a+21）．则PN=-a²-8a-7-（3a+21）=-a²-11a-28，由三角形的面积公式列出关于a的方程，然后解得a的值可求得点P的坐标；
（3）利用配方法可求得PN的最大值为$\frac{9}{4}$，然后证明△PMN∽△CHA，得到PM：MN：PN=1：3：$\sqrt{10}$，从而可求得l的最大值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）²+9．
∵将B（-1，0）代入得：9a+9=0，解得；a=-1，
∴解析式为y=-（x+4）²+9，即y=-x²-8x-7．
∵点A与点B关于x=-4对称，B（-1，0）
∴A（-7，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将A（-7，0）、C（-4，9）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-7k+b=0}\\{-4k+b=9}\end{array}\right.$，解得：k=3，b=21，
∴直线AC的解析式为y=3x+21．
（2）∵AH=3，CH=9，
∴S_△AHC=$\frac{1}{2}×3×9$=$\frac{27}{2}$．
∵S_△APC=$\frac{2}{9}{S_△}$AHC，
∴S_△APC=$\frac{2}{9}$×$\frac{27}{2}$=3．
设p（a，-a²-8a-7），N（a，3a+21）．则PN=-a²-8a-7-（3a+21）=-a²-11a-28．
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$PN•AH=3，
∴$\frac{1}{2}$×（-a²-11a-28）×3=3，解得：a₁=-5，a₂=-6．
∴点P（-5，8）或（-6，5）
（3）∵由（2）可知PN=-a²-11a-28=-（a+$\frac{11}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴PN的最大值为$\frac{9}{4}$．
∵EN∥CH，
∴∠ACH=∠ANE．
∵∠PNM=∠ENA，
∴∠PNM=∠ACH．
又∵∠PMN=∠AHC=90°，
∴△PMN∽△CHA．
∴PM：MN：PN=CH：HA：CA=1：3：$\sqrt{10}$．
∴l=PN×$\frac{1+3+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=$\frac{9}{4}$×$\frac{4+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=$\frac{18\sqrt{10}+45}{20}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积公式，配方法求二次函数的最值，得到PN与点P的横坐标a的函数关系式是解题的关键．