Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠C=90°，∠ABD=75°，∠DBC=30°，AB=2a，求BC的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：作BE⊥AD于E，就可以得出△ABE为等腰直角三角形，由勾股定理就由求出BE的值，由△BDE≌△BDC就可以得出BC=BE得出结论．

解答：解：作BE⊥AD于E，
∴∠BEA=∠BED=90°．
∵∠A=45°，
∴∠ABE=45°．
∵∠ABD=75°，
∴∠EBD=30°．
∵∠DBC=30°，
∴∠DBE=∠DBC．
∵∠C=90°，
∴∠BED=∠C．
在△BDE和△BDC中，

∠BED=∠C ∠DBE=∠DBC BD=BD

，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴BE=BC．
在Rt△ABE中，AB=2a，由勾股定理，得BE=

2

a
∴BC=

2

a．
答：BC=

2

a．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．