Question

【题目】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒 个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，交抛物线于点M，连结MC，MB，当t为何值时，△MCB的面积最大，并求出此时点M的坐标和△MCB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3），整理得：y=x2﹣2x﹣3．

（2）

解：∵当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴OB=OC．

∴∠PBQ=45°．

如图1所示：当∠PQB=90°时．则PB= BQ．

∵AP=t，BQ= t，AB=4，

∴AP+PB=t+2t=4．

∴t= ．

如图2所示：当∠QPB=90°时．

∵∠PBQ=45°，∠BPQ=90°，

∴PB= BQ= × t=t．

∵AP=t，AB=4，

∴t+t=4．

解得：t=2．

综上所述，当t=2或t= 时，△BPQ为直角三角形．

（3）

解：设直线BC的解析式为y=kx+b．

∵将C（0，﹣3）、B（3，0）代入得： ，解得：k=1，b=﹣3，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3．

设M（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a，a﹣3）．则QM=a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）=﹣a2+3a．

∵S△BCM= OBQM= ×3（﹣a2+3a）=﹣ （a2﹣3a）=﹣ （a﹣ ）2+ ，

∴当a= 时，△BCM的面积的最大值为 ．

∴点P的坐标（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由题意可知a=1，依据二次函数的交点式可知抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3），然后整理即可；（2）分为∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况求解．当∠PQB=90°时，PB= QB=2t，然后依据AB=AP+PB列方程求解即可；当∠BPQ=90°时，PB= QB=t，然后依据AB=AP+PB列方程求解即可；（3）先求得直线BC的解析式，然后设M（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a，a﹣3）．则QM=﹣a2+3a．由S△BCM= OBQM，得到△BCN的面积与a的函数关系式，然后依据配方法可求得△BCN的面积的最大值以及点P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．