【题目】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上一点,连结CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连结DE,BE.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠ACD=α,用含α的代数式表示∠DEB;
(3)若△ACD的外心在三角形的内部,请直接写出α的取值范围.
【答案】(1)作图见解析;(2)90°﹣α;(3)45°<α<90°.
【解析】
(1)依据几何语言进行作图即可;
(2)依据△ACD≌△BCE,即可得到∠CBE=∠A,再根据三角形内角和定理,即可用含α的代数式表示∠DEB;
(3)根据锐角三角形的外心位于三角形内部,即可得出α的取值范围.
解:(1)如图,CE、BE、DE为所作;
(2)∵将线段CD绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE,
∴∠DCE=90°,CD=CE
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCE=α,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE (SAS),
∴∠CBE=∠A.
∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠A=45°
∴∠CBE=45°
∵∠DCE=90°,CD=CE
∴∠CED=45°,
在△BCE中,∠BCE=∠ACD=α.
∴∠DEB=180°﹣α﹣45°﹣45°=90°﹣α.
(3)∵△ACD的外心在三角形的内部,
∴△ACD是锐角三角形,
∴∠ACD<90°,∠ADC<90°,
又∵∠A=45°,
∴∠ACD>45°,
∴45°<α<90°.
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【题目】全国各地都在推行新型农村医疗合作制度.南充市也正在推行:村民只要每人每年交元钱,就可以加入合作医疗,每年先由自己支付医疗费,年终时可得到按一定比例返回的返回款.小东与同学随机调查了他们镇的一些农民,根据收集到的数据绘制了以下的统计图,请根据以下信息解答问题:
(1)本次调查了多少村民?被调查的村民中,有多少人参加合作医疗得到了返回款?
(2)该镇若有个村民,请你估计有多少人参加了合作医疗?要使两年后参加合作医疗的人数增加到人,假设这两年的年增长率相同,求这个年增长率.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线为一、三象限角平分线,点关于轴的对称点称为的一次反射点,记作;关于直线的对称点称为点的二次反射点,记作.
例如,点的一次反射点为,二次反射点为.
根据定义,回答下列问题:
(1)点的一次反射点为__________,二次反射点为____________;
(2)当点在第一象限时,点,,中可以是点的二次反射点的是___________;
(3)若点在第二象限,点,分别是点的一次、二次反射点,为等边三角形,求射线与轴所夹锐角的度数.
(4)若点在轴左侧,点,分别是点的一次、二次反射点,是等腰直角三角形,请直接写出点在平面直角坐标系中的位置.
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【题目】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点连接,已知,且,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点为直线下方抛物线上一动点,过点作轴交于点,连接
①若,求此时点的坐标;
②若点关于直线的对称点恰好落在轴上,求此时点的坐标.
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【题目】如图,已知∠MON及其边上一点A,以点A为圆心,AO长为半径画弧,分别交OM,ON于点B和C,再以点C为圆心,AC长为半径画弧,恰好经过点B,错误的结论是( ).
A.B.∠OCB=90°C.∠MON=30°D.OC=2BC
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【题目】我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右)首创“割圆术”,所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率,刘徽计算出圆周率.
刘徽从正六边形开始分割圆,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,圆内接正二十四边形,…,割的越细,圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为R,圆内接正六边形的周长,计算;圆内接正十二边形的周长,计算;请写出圆内接正二十四边形的周长________,计算________.(参考数据:,)
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【题目】下面给出六个函数解析式:,,,,,.
小明根据学习二次函数的经验,分析了上面这些函数解析式的特点,研究了它们的图象和性质。下面是小明的分析和研究过程,请补充完整:
(1)观察上面这些函数解析式,它们都具有共同的特点,可以表示为形如_______,其中x为自变量;
(2)如图,在平面直角坐标系中,画出了函数的部分图象,用描点法将这个函数的图象补充完整;
(3)对于上面这些函数,下列四个结论:
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值,同时也有最小值
③存在某个函数,当(m为正数)时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是________;
(4)结合函数图象,解决问题:若关于x的方程有一个实数根为3,则该方程其它的实数根为_______.
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【题目】如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.
(1)将△ABC向下平移5个单位再向右平移1个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)P(a,b)是△ABC的边AC上一点,请直接写出经过两次变换后在△A2B2C2中对应的点P2的坐标.
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