Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm，点P从点A开始，沿边AB-BC-CD-DA以2cm/s的速度移动，点Q从点D开始沿边DA-AB-BC-CD以1cm/s的速度移动．P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间．
（1）当0≤t≤3，t为何值时，△QAP的面积等于2cm²？
（2）当t＞3时，若点P、Q按此速度继续移动，当其中一点回到出发点时停止运动，问t为何值时，△QAP的面积等于2cm²．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）根据运动速度表示出长度和三角形面积公式列出方程；
（2）利用分类讨论分别得出t的值即可．

解答：解：（1）当t秒时，QA=3-t，AP=2t，
根据题意得：

2t(3-t)

2

=2，
解得：t₁=1，t₂=2，
答：当t为1或2秒时，△QAP的面积等于2cm²；

（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=3cm，
∴AB+DC+CB+AD=3+6+6+3=18（cm），
18÷2=9，
∴点P与到达点A点停下，
如图1，当点Q在AB边上时，（6+3）÷2=4.5秒，
2=

1

2

AQ•PB=

1

2

•（t-3）•（2t-6），
解得：t₁=3+

2

，t₂=3-

2

（不合题意舍去）
当4.5＜t≤7.5时，

1

2

×BC×AQ=

1

2

×（t-3）×3=2，
解得：t=4

1

3

（不合题意舍去）；
如图2，当7.5＜t≤9时，
2=

1

2

AP•AQ=

1

2

•（t-3）•（18-2t），
解得：t₁=6+

7

，t₂=6-

7

（不合题意舍去）
综上所述：t的值为3+

2

，6+

7

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．