Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过点．

（1）求的值；

（2）若点是直线上方抛物线的一部分上的动点，过点P作轴于点F，交直线AB于点D，求线段的最大值

（3）在（2）的条件下，连接，点是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=－，c=3；（2）；（3）存在，G（1，）或(－5，－)或(3，－)

【解析】

（1）先根据直线求得点A，B的坐标，代入到二次函数中，建立关于b，c的二元一次方程求解即可；

（2）设点P（m，－ m－m＋3），则D（m， m＋3）,用含m的代数式表示线段PD的长，转化为二次函数的问题求其最大值；

（3）分CD为平行四边形的对角线和边两种情况，分类讨论，并结合中点坐标公式及平行四边形及平移的性质，计算求解即可．

解：（1）由得， 当时，y＝3；当时，，

即与坐标轴的交点坐标为

分别将代入，

得

解得，b=－，c=3．

（2）由（1）得y＝－x－x＋3，

设点P（m，－ m－m＋3），

则D（m， m＋3）

∴PD=－m－m＋3－(m＋3)=－m－m=－ (m＋2)＋

所以当m＝－2时，PD最大，最大值是．

（3）存在点G ，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形．他们分别是：G(1，)或G(3，－)或G(－5，－)．理由如下：

由（2）得 m=-2时，点D(-2，)，由二次函数可求得点C(2，0)，对称轴为x＝-1

设G(n，－ n－n＋3)，Q(－1，p)，CD与y轴交于点E，显然E为CD中点．

①当CD为对角线时，对角线QE的中点即为点E，由中点坐标公式可得：

n＋（-1）=0，所以n＝1，此时点G（1，）

②当CD为边时，

i）若G在Q上边，由平行四边形及平移的性质可知，点D向右平移4个单位，向下平移个单位到点C，故点G也同样的平移到点Q， 则n＋4＝-1，则n=-5，此时点G(－5，－)．

ii）若G在Q下边，由平行四边形及平移的性质可知，点D向右平移4个单位，向下平移个单位到点C，故点Q也同样的平移到点G，则-1＋4＝n，则n=3，此时点G(3，－)．