Question

【题目】在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】根据∠NMB=∠MBC,延长MN,BC相交于T,得到等腰△TBM,连接点T和MB的中点,得到相似三角形,然后由相似三角形的性质进行计算,求出∠ABM的正切.

如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，

∵∠ABM+∠MBT=90°，

∠OTB+∠MBT=90°，

∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，

∴=，即=，即MB2=2AMBT ①

令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，

代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），

解方程得：K1=0（舍去），K2=．

∴AM=2﹣=．

tan∠ABM===．

故答案是：．