Question

【题目】如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．

（1）求A点的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）（2）y=x2-4x+3； （3）存在，.

【解析】

解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0）．

（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），

，解，得，

∴y=x2-4x+3．

（3）连接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，

，

由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，

在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得，

假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

①当时，△PBQ∽△ABC．
即

∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．

②当，△QBP∽△ABC．
即，

，

∵OB=3，

，

∴Q2的坐标是.

∵∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBQ≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点，

能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．