Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（6，0），交y轴于点C（0，6），直线AB与直线OA：y＝x相交于点A，动点M在线段OA和射线AC上运动．

（1）求直线AB的解析式．

（2）求△OAC的面积．

（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）12；（3）存在满足条件的点M，其坐标为（1，）或（1，5）或（﹣1，7）

【解析】

（1）由B、C坐标，根据待定系数法可求得直线AB的解析式；

（2）联立直线AB和直线OA解析式可求得A点坐标，则可求得△OAC的面积；

（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．

解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，

根据题意得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；

（2）联立直线OA和直线AB的解析式可得，解得，

∴A（4，2），

∴S△OAC＝×6×4＝12；

（3）由题意可知S△OMC＝S△OAC＝×12＝3，

设M点的横坐标为t，则有S△OMC＝×OC|t|＝3|t|，

∴3|t|＝3，解得t＝1或t＝﹣1，

当点t＝﹣1时，可知点M在线段AC的延长线上，

∴y＝﹣（﹣1）+6＝7，此时M点坐标为（﹣1，7）；

当点t＝1时，可知点M在线段OA或线段AC上，

在y＝x中，x＝1可得y＝，代入y＝﹣x+6可得y＝5，

∴M的坐标是（1，）；

在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，

∴M的坐标是（1，5）；

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（1，）或（1，5）或（﹣1，7）．