【题目】如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E、F分别在线段CD、AD上，且 
．点G是EF的中点，射线DG交AC于点H．
（1）求证：△DFE∽△DAC；
（2）请你判断点H是否为AC的中点？并说明理由；
（3）若将△ADH绕点D顺时针旋转至△A′DH′，使射线DH′与射线CB相交于点M（不与B，C重合．图2是旋转后的一种情形），请探究∠BMD与∠BDA′之间所满足的数量关系，并加以证明．
【答案】
（1）
证明：∵CD为AB边上的中线，
∴DB=DA，
∵ 
，
∴ 
，又∠FDE=∠ADC，
∴△DFE∽△DAC
（2）
解：点H为AC的中点．
理由如下：∵△DFE∽△DAC，
∴∠DFE=∠DAC，
∴EF∥AC，
∴△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，
∴ 
， 
，
∴ 
，
∵点G是EF的中点，
∴EG=FG，
∴HC=AH，即点H为AC的中点
（3）
解：①如图2，当点M在线段BC上时（不与B，C重合），
∠BMD+∠BDA'=180°，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠HDH′，
∵将△ADH绕点D旋转至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'．
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∴∠BMD+∠BDA′=180°；
②如图3，当点M在CB的延长线上时，∠BMD=∠BDA'，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠NDH，
∵将△ADH绕点D旋转至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'，
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∠NDH+∠HDH′=180°，
∴∠NDH=∠BDA′，
∴∠BMD=∠BDA′．
【解析】（1）根据三角形的中线的概念和相似三角形的判定定理证明即可；（2）证明△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，根据相似三角形的性质得到比例式，根据线段中点的概念得到EG=FG，等量代换即可；（3）分点M在线段BC上和点M在CB的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质和旋转的性质解答即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．
津桥教育计算小状元系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知⊙O的半径为5，且点O在直线l上，小明用一个三角板学具（∠ABC=90°，AB=BC=8）做数学实验：
（1）如图①，若A、B两点在⊙O上滑动，直线BC分别与⊙O，L相交于点D，E．
①求BD的长；②当OE=6时，求BE的长；
（2）如图②，当点B在直线l上，点A在⊙O上，BC与⊙O相切于点P时，则切线长PB= 
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【题目】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC=120°，则∠A的度数是（ ） 
A.100°
B.110°
C.120°
D.125°
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【题目】高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示． 请结合图象解决下面问题：
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？
（2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？
（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？
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【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．
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【题目】在矩形ABCD中， 
=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．
（1）如图1，当DH=DA时，填空：∠HGA=度；
（2）如图1，当DH=DA时，若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；
（3）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．
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【题目】如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB=1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD=1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度．（参考数据： 
≈1.4， 
≈1.7，结果保留整数）
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