Question

若对任意实数x，二次三项式ax²+2（a+1）x+a+

1

2

的值恒为负数，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：令y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

，二次三项式ax²+2（a+1）x+a+

1

2

的值恒为负数，即二次函数y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

与x轴无交点，可得△＜0，解答即可．

解答：解：令y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

，
∵二次三项式ax²+2（a+1）x+a+

1

2

的值恒为负数，
∴二次函数y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

与x轴无交点，
∴△＜0，
即[2（a+1）]²-4a（a+

1

2

）＜0，
整理得，4（a²+2a+1）-4a²-2a＜0，
4a²+8a+4-4a²-2a＜0，
6a+4＜0，
解得a＜-

2

3

．
故答案为a＜-

2

3

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，将二次三项式转化为二次函数是解题的关键．