Question

12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出∠ABC=90°，即可得出答案；
（2）利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案．

解答 （1）证明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：AC⊥BD．

点评 此题主要考查了矩形的判定以及正方形的判定，熟练应用矩形、正方形的判定是解题关键．