Question

如图，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为S₁、S₂、S₃，S₁+S₂=S₃，求证：∠ACB=90°．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理

专题：证明题

分析：由S₁+S₂=S₃，根据圆的面积公式得出

1

8

πAC²+

1

8

πBC²=

1

8

πAB²，即AC²+BC²=AB²，根据勾股定理的逆定理即可证明∠ACB=90°．

解答：证明：∵S₁+S₂=S₃，S₁=

1

2

π（

1

2

AC）²=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
∴

1

8

πAC²+

1

8

πBC²=

1

8

πAB²，
即AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理和圆的面积的应用，关键是推出

1

8

πAC²+

1

8

πBC²=

1

8

πAB²，注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．