Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE= ，∠DPA=45°．

（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直径AB⊥DE，∴CE= DE= ．

∵DE平分AO，

∴CO= AO= OE．又∵∠OCE=90°，

∴sin∠CEO= = ，

∴∠CEO=30°．在Rt△COE中，OE= = ．

∴⊙O的半径为2

（2）解：连接OF．

在Rt△DCP中，

∵∠DPC=45°，

∴∠D=90°﹣45°=45°．

∴∠EOF=2∠D=90°．

∴S扇形OEF= ．

∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，

∴SRt△OEF= ×OE×OF=2．

∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF= ．

【解析】（1）根据垂径定理求出CE的值，根据特殊角的三角函数值，求出⊙O的半径；（2）根据圆周角定理，求出∠EOF=2∠D的值，根据扇形的面积公式求出S扇形OEF的值，由△OEF的面积，得到S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF的值.