如图.在平面直角坐标系中.点B在直线y=2x上.过点B作x轴的垂线.垂足为A.OA=5.抛物线y=$\frac{1}{6}$x2+bx+c过点O.A两点．(1)抛物线的解析式为y=$\frac{1}{6}$x2-$\frac{5}{6}$x,(2)点C是抛物线上的一点.且BC=10.连接AC交OB于点D.以BC为直径的⊙O1经过点D.连接DC.求证:OC是的⊙O1切线,(3)设点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5，抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c过点O、A两点．
（1）抛物线的解析式为y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x；
（2）点C是抛物线上的一点，且BC=10，连接AC交OB于点D，以BC为直径的⊙O₁经过点D，连接DC，求证：OC是的⊙O₁切线；
（3）设点P是OB上的一个动点，是否存在一点P，使△PCD与△ABD相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把O、A两点的坐标代入抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）连结OC，根据SAS证明△BCO≌△BAO，根据全等三角形的性质可得∠BCO=∠BAO=90°，再根据切线的判定即可求解；
（3）存在．过点C作CE⊥x轴于点E，则△ACE∽△BOA，根据相似三角形的性质和勾股定理可求CE=4，进一步得到点C（-3，4）；再分两种情况：①如图1，过点C作CP₁∥OA交直线y=2x于点P₁，则△P₁CD∽△ABD；②过点C作CP₂∥BA交直线y=2x于点P₂，则△P₁CD∽△ABD；③点P和点B和点O重合；进行讨论可求点P的坐标．

解答解：（1）把O、A两点的坐标代入抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{\frac{1}{6}×{5}^{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{6}}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x；
（2）证明：如图1，连结OC，

∵点B在直线y=2x上，
∴点B（5，10），
∴AB=BC=10，
∵BC为直径的⊙O₁经过点D，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∴∠CBD=∠ABD，
在△BCO与△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBD=∠ABD}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△BAO，
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴OC是的⊙O₁切线；
（3）存在．如图2，过点C作CE⊥x轴于点E，则△ACE∽△BOA，

∴$\frac{CE}{OA}$=$\frac{AC}{BO}$，
∵AC=2CD=2$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CE=4，
∵点C在抛物线上，
∴点C（-3，4）；
①如图3，过点C作CP₁∥OA交直线y=2x于点P₁，则△P₁CD∽△ABD，

∵点C（-3，4），
∴当y=4时，4=2x，解得x=2，
∴P₁（2，4）；
②如图4，过点C作CP₂∥BA交直线y=2x于点P₂，则△P₂CD∽△ABD，

∵点C（-3，4），
∴当x=-3时，y=2×（-3）=-6，
∴P₂（-3，-6）．
③点P和点B和点O重合，则P₃（5，10），P₄（0，0）．
故答案为：y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x．

点评本题着重考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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A．

1个

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2个

C．

3个

D．

4个

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