Question

9．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，如图①，若∠C=90°，根据勾股定理，可得a²+b²+c²．如图②、③，若△ABC不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 如图②中，△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD不变由勾股定理得出等式b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，化简即可；如图③中，△ABC是钝角三角形，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，化简即可．

解答 解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²＜c²，理由如下：
当△ABC是锐角三角形时，如图②，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x，
根据勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，即b²-x²=c²-a²+2ax-x²，
∴a²+b²=c²+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²；
当△ABC是钝角三角形时，如图③，
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
设CD为x，则有BD²=a²-x²，
根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²，
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²．

点评 此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．