Question

19．已知，如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB边上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若GD=2，GB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；
（2）连接OG，作OF⊥BD于F，根据切割线定理求出ED=2$\sqrt{3}$，设⊙O 的半径为R，根据勾股定理求得半径为4，从而求得∠OBG=∠EOG=60°，然后根据S_阴影=S_扇形EOG+S_△BOG-S_△OBE即可求得．

解答 （1）证明：连接OE，
∵AB=BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．

（2）解：连接OG，作OF⊥BD于F，
∵GD=2，GB=4，
∴BD=6，
∵DE²=DG•DB，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∵OE⊥AC，BD⊥AC，
∴四边形OEDF是矩形，
∴OF=ED=2$\sqrt{3}$，DF=OE，
设半径为R，
∴BF=6-R，
在RT△OBF中，OB²=OF²+BF²，
∴R=（2$\sqrt{3}$）²+（6-R）²，
解得R=4，
∴OB=OG=OE=4，
∵BG=4，
∴△OBG是等边三角形，
∴∠OBG=60°，
∵OE∥BD，
∴∠EOG=60°，
∴△EOG是等边三角形，
∴四边形EOBG是菱形，
∴S_△BOG=S_△OBE，
∴S_阴影=S_扇形EOG+S_△BOG-S_△OBE=S_扇形EOG=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，平行线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是证得等边三角形和菱形．