Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上（除点B外）一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．
（1）求证：CF⊥BC；
（2）若AC=4

2

，CD=2，求线段CP的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；
（2）在Rt△ABC中可求得BC=8，由（1）可知CF=BD=6，过A作AD⊥BC于点G，则GD=4-2=2，在Rt△AGD中可求得AD=2

5

，设CP=x，则PF=6-x，PD²=x²+2²，易证△CPD∽△EPF，利用对应边成比例可得到关于x的方程，可求得x，即CP的长．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=90°，
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAC+∠CAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，
∴CF⊥BC；

（2）解：在Rt△ABC中，AC=4

2

，由勾股定理可求得BC=8，
∴CF=BD=8-CD=8-2=6，
过A作AG⊥BC于点G，则GC=4，

∴GD=4-2=2，在Rt△AGD中，可求得AD=2

5

，
∴EF=AD=2

5

，
设CP=x，则PF=6-x，
在Rt△CPD中，PD=

CD2+CP2

=

4+x2

．
在△CPD和△EPF中，
∵∠FCD=∠E，∠DPC=∠EPF，
∴△CPD∽△EPF，
∴

CD

EF

=

PD

PF

，
即

2

2 5

=

4+x2

6-x

，
解得x=1或x=-4（舍去），
∴CP=1．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的性质、相似三角形的判定和性质，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．