Question

19．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，可求得∠ABC与∠ACB的度数，然后由BD=BA，CE=CA，分别求得∠BAD与∠CAE的度数，继而求得答案；
（2）首先设∠BAC=α，然后由AB=AC，用α表示出∠ABC与∠ACB的度数，继而由BD=BA，CE=CA，分别求得∠BAD与∠CAE的度数，则可求得答案．

解答 解：（1）∠DAE=45°．
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AB=BD，AC=CE，
∴∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-67.5°=22.5°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°；

（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC．
理由：设∠BAC=α，
∵AB=AC，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B），
∴∠CAD=α-$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=α-90°+$\frac{1}{2}$∠B，
∵CA=CE，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠DAE=α-90°+$\frac{1}{2}$∠B+$\frac{1}{2}$∠B+$\frac{1}{2}$∠B=α-90°+∠B，
∴∠DAE═α-90°+$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{1}{2}$α，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC．

点评 此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意用设∠BAC=α，然后用α表示出各角是解此题的关键．