如图.在矩形ABCD中.AD=3.AB=6.E为CD边中点.F为AD上一点.以AF为边作正方形AFGH.使正方形AFGH和矩形ABCD在AD的同侧.且正方形AFGH的顶点G恰好落在对角线BD上.将正方形AFGH以每秒一个单位的速度沿射线AB方向平移.记平行中的正方形AFGH为正方形A′FGH.当点A′与点B重合时停止运动.设运动的时间为t．(1)求正方形AFGH� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=6，E为CD边中点，F为AD上一点，以AF为边作正方形AFGH，使正方形AFGH和矩形ABCD在AD的同侧，且正方形AFGH的顶点G恰好落在对角线BD上，将正方形AFGH以每秒一个单位的速度沿射线AB方向平移，记平行中的正方形AFGH为正方形A′FGH，当点A′与点B重合时停止运动，设运动的时间为t（t≥0）．
（1）求正方形AFGH的边长；
（2）在平移过程中，设正方形A′FGH与△DEB重叠部分的面积为S，请直接写出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）在平移过程中，正方形A′FGH的边GH与对角线BD交于点M，边接A′M、A′E、EM，是否存在时间t，使△A′EM为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由△DFG∽△DAB，得$\frac{FG}{AB}=\frac{DF}{AD}$，列出方程即可解决．
（2）有三种情形：当0＜t≤2时如图1，由△MGN∽△BAD，求出MG、GN即可解决．②当2＜t≤4时如图2，根据s=S_{四边形FGNM}-S_△PGK即可解决．③当4＜t≤6时如图3中，根据s=s_△BMK，求出MK即可解决．
（3）存在，如图4中，延长HG交CD于N，利用△EMN≌△MA′H，求出MH，HB即可解决问题．

解答解：（1）∵四边形AFGH是正方形，
∴FG∥AB，
∴△DFG∽△DAB，
∴$\frac{FG}{AB}=\frac{DF}{AD}$，
设正方形AFGH的边长为x，则FG=AF=x，
∴DF=AD-AF=3-x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{3-x}{3}$，
解得：x=2，
∴正方形AFGH的边长为2．
（2）如图1中，延长FG交EB于P，FG与BD交于点M，GH与BD交于点N，
∵PM∥DE，
∴$\frac{PM}{DE}=\frac{BM}{BD}=\frac{AF}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴PM=2，
①当0＜t≤2时，∵∠GMN=∠ABD，∠MGN=∠DAB=90°，
∴△MGN∽△BAD，
∴$\frac{MG}{AB}=\frac{GN}{AD}$，
∴GM=$\frac{1}{2}MG$=$\frac{1}{2}$t，
∴s=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{4}$t²，
②当2＜t≤4时，如图2中，FM=$\frac{1}{2}$（t-2），
∵NH∥AD，
∴$\frac{NH}{AD}=\frac{BH}{BA}$，
∴$\frac{NH}{3}=\frac{4-t}{6}$，
∴NH=$\frac{1}{2}（4-t）$，NG=2-NH=$\frac{t}{2}$，
∵EC=BC，∠C=90°，
∴∠CEB=∠EBC=∠HBK=45°，
∴∠HKB=∠PKG=∠KPG=45°，
∴KH=BH，GK=2-BH=t-2，
∴s=S_{四边形FGNM}-S_△PGK=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（t-2）+$\frac{1}{2}t$]•2-$\frac{1}{2}$（t-2）²=-$\frac{1}{2}$t²+3t-3．
③当4＜t≤6时，如图3中，∵A′B=A′K=6-t，A′M=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$（6-t），
∴s=$\frac{1}{2}$[（6-t）-$\frac{1}{2}$（6-t）]（6-t）=$\frac{1}{4}$（6-t）²．
（3）存在，如图4中，延长HG交CD于N，
∵CD∥BA，NH⊥AB，
∴NH⊥CD，∠ENH=90°，
∵ME=MA′，∠EMA′=90°，
∴∠A′MH+∠EMN=90°，∠EMN+∠MEN=90°，
∴∠A′MH=′MEN，
在△A′HM和△MNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENM=∠A′HM}\\{∠MEN=∠A′MH}\\{EM=A′M}\end{array}\right.$，
∴△EMN≌△MA′H，
∴MN=A′H=2，HM=HN-MN=1，
∴BH=2HM=2，
∴t+2+2=6，
∴t=2．
∴t=2时，△A′EM为等腰直角三角形．

点评本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确确定自变量的取值范围，画出图形，在解题中要善于利用全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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