Question

【题目】如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与抛物线C2互相依存．

（1）已知抛物线①：y=﹣2x2+4x+3与抛物线②：y=2x2+4x﹣1，请判断抛物线①与抛物线②是否互相依存，并说明理由．

（2）将抛物线C1：y=﹣2x2+4x+3沿x轴翻折，再向右平移m（m＞0）个单位，得到抛物线C2，若抛物线C1与C2互相依存，求m的值．

（3）试问：如果对称轴不同的两条抛物线（二次函数图象）互相依存，那么它们的函数表达式中的二次项系数之间有什么数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线①与抛物线②相互依存（2） （3）0

【解析】

（1）根据两抛物线的关联依次判断即可；
（2）根据两抛物线关联的定义直接列式得出结论；
（3）设互相依存的一条抛物线为y1=a1（x﹣m1）2+n1

另一条抛物线为y2=a2（x﹣m2）2+n2，分别代入顶点，两式相加.

（1）由抛物线①知，y=﹣2x2+4x+3=﹣2（x﹣1）2+5，顶点坐标为（1，5），

把x=1代入抛物线②：y=2x2+4x﹣1，得y=5，

∴抛物线①的顶点在抛物线②上，

又由抛物线②知，y=2（x+1）2﹣3，顶点坐标为（﹣1，﹣3），

把x=﹣1代入抛物线①中，得，y=﹣3，

∴抛物线②的顶点在抛物线①上，

∴抛物线①与抛物线②相互依存．

（2）由抛物线①：y=﹣2（x﹣1）2+5，沿x轴翻折后为y=2（x﹣1）2﹣5，

设平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1﹣m）2﹣5，

把x=1，y=5代入得2（1﹣1﹣m）2﹣5=5，

∴m=±；

∵m＞0，

∴m=，

∴当m= 时，得到抛物线C2：y=2（x﹣1﹣）2﹣5，顶点为（1+，﹣5），

把x=1+代入抛物线C1，得y=﹣5，

∴m=；

（3）它们的二次项系数互为相反数，理由如下：

设互相依存的一条抛物线为y1=a1（x﹣m1）2+n1，顶点为（m1，n1）

另一条抛物线为y2=a2（x﹣m2）2+n2，顶点为（m2，n2），其中m1≠m2，

∴把（m2，n2）代入y1，得n2=a1（m2﹣m1）2+n1，①

把（m1，n1）代入y2，得n1=a2（m1﹣m2）2+n2②

由①+②得，a1（m2﹣m1）2+a2（m1﹣m2）2=0

∵m1≠m2，

∴a1+a2=0．